{"id":155038,"date":"2023-05-06T10:15:34","date_gmt":"2023-05-06T08:15:34","guid":{"rendered":"https:\/\/clubcomputer.at\/?p=155038"},"modified":"2023-09-21T08:51:49","modified_gmt":"2023-09-21T06:51:49","slug":"kuenstliche-intelligenz-fuer-die-schule","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/clubcomputer.at\/2023\/05\/06\/kuenstliche-intelligenz-fuer-die-schule\/","title":{"rendered":"K\u00fcnstliche Intelligenz f\u00fcr die Schule"},"content":{"rendered":"\n

K\u00fcnstliche Intelligenz f\u00fcr die Schule<\/h1>\n\n\n\n

Das Thema \u201eK\u00fcnstliche Intelligenz\u201c (englisch: \u201eArtificial Intelligence\u201c) hat nun im Jahr 2023 die \u201ep\u00e4dagogischen Marktpl\u00e4tze\u201c erreicht. Mit dem Produkt Chat-GPT ist die Nutzung eines \u201eSchreib\u00adgenerators\u201c f\u00fcr vielf\u00e4ltige Zwecke pl\u00f6tzlich aktuell geworden. Mit dem textbasierten Dialogsystem lassen sich t\u00e4uschend echte Texte f\u00fcr den Sprachunterricht oder auch realistische F\u00e4cher (Mathematik, Naturwissenschaften, Informatik) verfassen, wobei die eigenen F\u00e4higkeiten und die eigene sprachliche Kreativit\u00e4t der Studierenden und Sch\u00fcler*innen kaum mehr eingesch\u00e4tzt werden kann. \u201eHausarbeiten\u201c mit origin\u00e4rem Ursprung werden damit fraglich und ein wesentliches Moment, einen pers\u00f6nlichen Schreibstil zu entwickeln, kann damit massiv gest\u00f6rt werden. Auf der anderen Seite erscheint es dann doch geraten, diese informatischen Entwicklungen so in ein Unterrichts- oder Studiengeschehen einzubeziehen, dass man Aufgabenstellungen findet, die jenseits von einfachen Schreibtexten die F\u00e4higkeiten von Sch\u00fcler*innen und Studierenden mit Unterst\u00fctzung von Textgeneratoren bewerten kann.<\/p>\n\n\n\n

1.      Der Turingtest<\/h2>\n\n\n\n

Alan Turing formulierte 1950 die Idee, wie man feststellen k\u00f6nne, ob ein Computer ein dem Menschen gleichwertiges Denkverm\u00f6gen besitzt. Der \u201eTest\u201c war eine theoretische Skizze, die im Zeitalter der Informatik und der k\u00fcnstlichen Intelligenz genauer und konkreter ausformuliert wurde (Dartmouth Conference 1956).<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure>\n\n\n\n

Ein menschlicher Fragesteller (Mitte) f\u00fchrt mittels Tastatur und Bildschirm mit zwei unbekannten Gespr\u00e4chspartnern eine Unterhaltung. Der eine Gespr\u00e4chspartner ist ein Mensch (Frau rechts), der andere eine Maschine (links). Wenn der Fragesteller nach einer intensiven Befragung nicht klar sagen kann, welcher von beiden die Maschine ist, hat die Maschine den Turingtest bestanden. Ihr wird ein dem Menschen ebenb\u00fcrtiges Denkverm\u00f6gen unterstellt.<\/p>\n\n\n\n

Turing vermutete, dass es bis zum Jahr 2000 m\u00f6glich sein werde, Computer so zu programmieren, dass der durchschnittliche Anbieter eine h\u00f6chsten 70% Chance habe, Mensch und Maschine erfolgreich zu identifizieren, nachdem er 5 Minuten mit ihnen \u201eGesprochen\u201c hat. Die Vorhersage hat sich bisher nicht erf\u00fcllt- ein Beleg f\u00fcr die Untersch\u00e4tzung der Komplexit\u00e4t k\u00fcnstlicher Intelligenz!<\/p>\n\n\n\n

Die \u00dcberlegungen zum Turingtest waren allerdings Basis f\u00fcr den ersten Chat-Bot, ELISA von J. Weizenbaum, der ein Grundrepertoire von freundlichen Fragestellungen hatte (\u201ewie geht es Dir?\u201c) und auf  Personen \u201eeingegangen\u201c ist. Immerhin war etlichen Versuchspersonen nicht bewusst, dass es sich um einen nichtmenschlichen Gespr\u00e4chspartner handelte. Es bestand den Turingtest allerdings nicht!<\/p>\n\n\n\n

2. K\u00fcnstliche Intelligenz wird in drei Entwicklungsstufen gesehen<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

Als \u201eschwache KI\u201c konzentriert man sich auf die L\u00f6sung konkreter Anwendungsprobleme aus Mathematik und Informatik. Intelligente Service am Smartphone wie Routenplaner oder Sprach\u00fcber\u00adsetzer, also erfolgt eine gezielte Besch\u00e4ftigung mit einer Aufgabe. Auch Schachcomputer und \u201eAlpha-Go\u201c geh\u00f6ren in diese Kategorie.<\/p>\n\n\n\n

Als \u201estarke KI\u201c w\u00fcrde ein System angesehen, das so \u201eintelligent\u201c wie ein Mensch ist, also sich mit unterschiedlichen Aufgaben besch\u00e4ftigt, Vorgangsweisen planen kann oder komplexe Zusammenh\u00e4nge verstehen kann.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure>\n\n\n\n

Das Chinesische Zimmer ist der Name f\u00fcr ein Gedankenexperiment des Philosophen John Searle, der damit die \u201eStarke KI\u201c angreift. Mit seiner Hilfe versucht Searle die Meinung zu widerlegen, dass digi\u00adtale Computer allein dadurch Be\u00adwusstsein erlangen k\u00f6nnten, dass sie ein passendes Programm ausf\u00fchren. Searle beschrieb einen geschlosse\u00adnen Raum, in dem sich ein Mensch befindet. Ihm werden durch einen Schlitz in der T\u00fcr Zettel mit Ge\u00adschichten auf Chinesisch zugestellt.<\/p>\n\n\n\n

Er selbst ist der chinesischen Sprache nicht m\u00e4chtig und versteht somit weder den Sinn der einzelnen Zeichen noch den Sinn der Geschichte. Danach erh\u00e4lt er noch einen Zettel mit Fragen zu der Geschichte (ebenfalls in chinesischer Notation). Der Mensch findet des Weiteren einen Stapel chinesischer Skripte und ein \u201eHandbuch\u201c mit Regeln in seiner Muttersprache vor. Die Skripte enthalten Zusatz- und Hintergrundinformationen zu den Geschichten (eine Art \u201eWissensdatenbank\u201c). Das Handbuch erm\u00f6glicht es ihm, die Zeichen mit der Geschichte in Verbindung zu bringen, allerdings ausschlie\u00dflich auf der Ebene der Zeichenerkennung (\u00fcber die Form der Zeichen). Auch entnimmt er dem Handbuch Anweisungen, welche Zeichen er (abh\u00e4ngig von den Zeichen der Geschichte, der Skripte und der Fragen) auf den Antwortzettel zu \u00fcbertragen hat. Er folgt also rein mechanischen Anweisungen und schiebt das Ergebnis (die \u201eAntworten\u201c auf die Fragen) durch den T\u00fcrschlitz, ohne die Geschichte oder die Fragen verstanden zu haben.<\/p>\n\n\n\n

Vor der T\u00fcr wartet ein chinesischer Muttersprachler, der die Antwortzettel liest. Er kommt aufgrund des Sinngehaltes der Antworten zu dem Ergebnis, im Raum befinde sich ebenfalls ein Chinesisch sprechender Mensch, der die Geschichte verstanden hat.<\/p>\n\n\n\n

Als \u201eSuperintelligenz\u201c w\u00e4re eine Maschine zu verstehen, die in jedem kognitiven Feld besser als die begabtesten Menschen ist und L\u00f6sungsstrategien \u201elernen\u201c und damit weiterentwickeln kann. Da die Maschine aber keine ethischen Ma\u00dfst\u00e4be entwickeln kann, w\u00e4re es hier die Aufgabe, einen \u201eKern-Code\u201c zu schreiben.<\/p>\n\n\n\n

3. Geschichtliche Entwicklung<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

Eine kurze geschichtliche Entwicklung der K\u00fcnstlichen Intelligenz in Schlagworten<\/p>\n\n\n\n

1936: Turingmaschine: <\/strong>Der britische Mathematiker Alan Turing beweist durch seine Theorien, dass eine Rechenmaschine \u2013 eine sogenannte \u201eTuringmaschine\u201c \u2013 in der Lage w\u00e4re, kognitive Prozesse auszuf\u00fchren, sofern diese sich in mehrere Einzelschritte zerlegen und durch einen Algorithmus darstellen lassen. Damit legt er den Grundstein f\u00fcr das, was wir heute unter K\u00fcnstlicher Intelligenz verstehen.<\/p>\n\n\n\n

1956: Der Begriff \u201eKI\u201c entsteht<\/strong>: Im Sommer 1956 treffen sich Wissenschaftler zu einer Konferenz am Dartmouth College im US-Bundesstaat New Hampshire. Sie sind der Ansicht, dass Aspekte des Lernens sowie andere Merkmale der menschlichen Intelligenz von Maschinen simuliert werden k\u00f6nnen. Der Programmierer John McCarthy schl\u00e4gt daf\u00fcr den Begriff \u201eK\u00fcnstliche Intelligenz\u201c vor. W\u00e4hrend der Konferenz wird mit dem \u201eLogic Theorist\u201c \u2013 der es schafft, mehrere Dutzend mathematische Lehrs\u00e4tze zu beweisen \u2013 zudem das erste KI-Programm der Welt geschrieben.<\/p>\n\n\n\n

1966: Geburt des ersten Chatbots<\/strong>: Der deutsch-amerikanische Informatiker Joseph Weizenbaum vom Massachusetts Institute of Technology erfindet ein Computerprogramm, das mit Menschen kommuniziert. \u00dcber Skripte simuliert \u201eELIZA\u201c verschiedene Gespr\u00e4chspartner, beispielsweise einen Psychotherapeuten. Weizenbaum ist \u00fcberrascht, mit welch einfachen Mitteln \u201eELIZA\u201c die Illusion eines menschlichen Gespr\u00e4chspartners erzeugen kann.<\/p>\n\n\n\n

1972: KI gelangt in die Medizin:<\/strong> Mit \u201eMYCIN\u201c findet K\u00fcnstliche Intelligenz den Weg in die Praxis: Das von Ted Shortliffe an der Stanford University entwickelte Expertensystem wird zur Behandlung von Krankheiten eingesetzt. Expertensysteme sind Computerprogramme, die das Wissen eines bestimmten Fachgebietes durch Formeln, Regeln und eine Wissensdatenbank b\u00fcndeln. In der Medizin dienen sie zur Unterst\u00fctzung bei Diagnose und Therapie.<\/p>\n\n\n\n

1986: \u201eNETtalk\u201c spricht<\/strong>: Der Computer erh\u00e4lt erstmals eine Stimme. Durch die Eingabe von Beispiels\u00e4tzen und Phonemketten bringen Terrence J. Sejnowski und Charles Rosenberg ihrem Programm \u201eNETtalk\u201c das Sprechen bei. \u201eNETtalk\u201c kann W\u00f6rter lesen und korrekt aussprechen sowie das Gelernte auf ihm unbekannte W\u00f6rter anwenden. Damit ist es eines der fr\u00fchen k\u00fcnstlichen neuronalen Netze \u2013 also Programme die mit gro\u00dfen Datens\u00e4tzen gef\u00fcttert werden und darauf aufbauend eigene Schl\u00fcsse ziehen k\u00f6nnen. In Aufbau und Funktion \u00e4hneln sie damit dem menschlichen Gehirn.<\/p>\n\n\n\n

1997: Computer schl\u00e4gt Schachweltmeister:<\/strong> Die KI-Schachmaschine \u201eDeep Blue\u201c der Firma IBM bezwingt den amtierenden Schachweltmeister Garry Kasparov in einem Turnier. Dies gilt als historischer Erfolg der Maschinen in einem Bereich, der bislang vom Menschen dominiert wurde. Kritiker werfen jedoch ein, dass \u201eDeep Blue\u201c nicht durch kognitive Intelligenz, sondern nur durch das Berechnen aller denkbaren Z\u00fcge gewonnen habe.<\/p>\n\n\n\n

Um 2000: Maschinelles Lernen und neuronale Netze<\/strong>: Expertensysteme und andere auf Wissensdatenbanken basierende Systeme hatten nur m\u00e4\u00dfigen Erfolg, da es sich als zu schwer herausstellte, das ben\u00f6tigte Wissen von Hand in formale Regeln zu \u00fcberf\u00fchren. Diese Schw\u00e4che wird durch maschinelles Lernen umgangen. Hierbei lernt das Computersystem selbstst\u00e4ndig anhand der vorliegenden Daten und ist so auch in der Lage, verborgene Zusammenh\u00e4nge zu erkennen, die ein Mensch nicht ber\u00fccksichtigt h\u00e4tte. Klassische Verfahren lernen dabei eine Ausgabefunktion anhand vorher extrahierter Merkmale, die durch manuelle Programmierung aus den Eingabedaten extrahiert wurden. Hierbei zeigte sich jedoch ein \u00e4hnliches Problem wie bei den Expertensystemen, dass eine manuelle Auswahl nicht immer zu einem optimalen Ergebnis f\u00fchrt. Eine aktuell erfolgreiche Struktur f\u00fcr maschinelles Lernen sind k\u00fcnstliche neuronale Netze (KNNs). Sie basieren auf der F\u00e4higkeiten, die erforderlichen Merkmale selbst anhand der Rohdaten zu lernen, beispielsweise direkt aus den Kamerabildern.<\/p>\n\n\n\n

2011: KI erreicht den Alltag:<\/strong> Technologiespr\u00fcnge bei der Hard- und Software bahnen K\u00fcnstlicher Intelligenz den Weg in das t\u00e4gliche Leben. Leistungsstarke Prozessoren und Grafikkarten in Computern, Smartphones und Tablets erm\u00f6glichen es normalen Verbrauchern auf KI-Programme zuzugreifen. Insbesondere Sprachassistenten erfreuen sich gro\u00dfer Beliebtheit: Apples \u201eSiri\u201c kommt 2011 auf den Markt, 2014 stellt Microsoft die Software \u201eCortana\u201c vor und Amazon pr\u00e4sentiert 2015 Amazon Echo mit dem Sprachdienst \u201eAlexa\u201c.<\/p>\n\n\n\n

2011: KI \u201eWatson\u201c gewinnt Quizshow:<\/strong> Das Computerprogramm \u201eWatson\u201c tritt in Form eines animierten Bildschirmsymbols in einer US-amerikanischen TV-Quizshow an und gewinnt gegen die menschlichen Mitspieler. Damit beweist \u201eWatson\u201c, dass es die nat\u00fcrliche Sprache versteht und schnell auf schwierige Fragen antworten kann.<\/p>\n\n\n\n

2016: Alpha Go besiegt besten Go-Spieler<\/strong>: Im M\u00e4rz 2016 besiegte das System AlphaGo mit dem S\u00fcdkoreaner Lee Sedol einen der weltbesten Go-Spieler. Das vom Unternehmen DeepMind entwickelte Programm hatte zuvor Millionen von archivierten Spielen mit Deep Learning ausgewertet und zudem mehrere Millionen Mal gegen sich selbst gespielt.<\/p>\n\n\n\n

2017 \u2013 KI Programm besiegt Profi- Computerspieler: <\/strong>Eine k\u00fcnstliche Intelligenz der Firma OpenAI besiegt bei einem mit 24 Millionen Dollar dotierten Turnier des Computerspiels Dota 2 einige der weltbesten Profispieler auf diesem Gebiet. Dota 2 gilt als eines der komplexesten Videospiele \u00fcberhaupt, komplexer als Go oder Schach. Dota 2 wurde allerdings hier im \u201eEins zu eins\u201c – Modus gespielt und nicht im komplexeren Team-Modus. OpenAI erkl\u00e4rte, dass die KI nur vier Monate ben\u00f6tigte, um diese Spielst\u00e4rke zu erreichen. Die KI wurde trainiert, indem diese immer wieder gegen sich selbst antrat. Die KI bekam das gleiche Sichtfeld wie der menschliche Spieler und durfte nur eine begrenzte Anzahl von Aktionen gleichzeitig ausf\u00fchren. Ziel von OpenAI ist es nun, eine KI zu entwickeln, die die besten menschlichen Spieler auch im Team-Modus besiegen kann.<\/p>\n\n\n\n

2018: KI debattiert \u00fcber Raumfahrt und vereinbart einen Friseurtermin:<\/strong> Diese beiden Beispiele demonstrieren die Leistungsf\u00e4higkeit von K\u00fcnstlichen Intelligenzen: Im Juni liefert sich \u201eProject Debater\u201c von IBM mit zwei Debattiermeistern ein Rededuell \u00fcber komplexe Themen \u2013 und schneidet dabei beachtlich ab. Wenige Woche zuvor demonstriert Google auf einer Konferenz, wie die KI \u201eDuplex\u201c beim Friseur anruft und im Plauderton einen Termin vereinbart \u2013 ohne dass die Dame am anderen Ende der Leitung merkt, dass sie mit einer Maschine spricht.<\/p>\n\n\n\n

2022: Chat-GPT macht Furore<\/strong>: Das textbasierte Dialogsystem Chat-GPT ist als Pilotprodukt bald in aller Munde: es kann sprachlich korrekte Dialoge f\u00fchren und besitzt viele Fertigkeiten im kognitiven Bereich ( Mathematik, Naturwissenschaften, etc.). es h\u00e4lt nach zwei Monaten Einzug an Hochschulen und Schulen.<\/p>\n\n\n\n

20xx: Die nahe Zukunft<\/strong>: Trotz jahrzehntelanger Forschung steht die Entwicklung der K\u00fcnstlichen Intelligenz noch relativ am Anfang. Damit sie in sensiblen Bereichen wie dem automatisierten Fahren oder der Medizin eingesetzt werden kann, muss sie zuverl\u00e4ssiger und sicherer gegen Manipulationen werden. KI-Systeme sollen zudem lernen, ihre Entscheidungen zu erkl\u00e4ren, damit Menschen sie nachvollziehen und die Denkweise der KI besser erforschen k\u00f6nnen.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure>\n\n\n\n

4. Wo wird k\u00fcnstliche Intelligenz heute schon angewendet?<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

Eine allgemeine k\u00fcnstliche Intelligenz gibt es weiterhin nicht, doch f\u00fcr immer mehr spezielle Aufgaben werden KI-L\u00f6sungen entwickelt, die dem Menschen ebenb\u00fcrtig oder \u00fcberlegen sind. Dabei geht es h\u00e4ufig um das Erkennen und Interpretieren von Mustern in Bildern, Sprache oder Datenbanken, das Finden optimaler L\u00f6sungen in komplexen Situationen oder das Filtern relevanter Informationen.<\/p>\n\n\n\n

Oft empfinden wir diese Technologien gar nicht mehr als intelligent, sobald wir uns an sie gew\u00f6hnt haben \u2013 der bekannte \u201eKI-Effekt\u201c.<\/p>\n\n\n\n

Virtuelle Assistenten und Chatbots<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Virtuelle Assistenten entsprechen wohl am ehesten der Vorstellung von KI, wie wir sie aus Science-Fiction-Filmen kennen: Siri, Alexa, Cortana oder Google Assistant: Die freundliche Stimme l\u00e4sst sich per Sprache steuern, kann ein Kinoticket kaufen, Musik abspielen oder das Licht dimmen. Dahinter stecken beeindruckende Leistungen in der Spracherkennung (die Ger\u00e4usche m\u00fcssen in W\u00f6rter \u00fcbersetzt werden) und der Sprachverarbeitung (in der Folge von W\u00f6rtern muss eine konkrete Anforderung erkannt werden).  Chatbots, als einfachere, textbasierte Variante, sind seit Jahren vor allem im Kundenservice vieler Unternehmen im Einsatz und k\u00f6nnen die Mitarbeiter bei der gro\u00dfen Masse an Routine-Anfragen entlasten.<\/p>\n\n\n\n

Beispiel: <\/strong>Google Assistant \u2013 ein virtueller pers\u00f6nlicher Assistent auf Basis von KI<\/p>\n\n\n\n

Robotik<\/strong><\/p>\n\n\n\n

In der physischen Steuerung von Robotern st\u00f6\u00dft KI weiterhin an ihre Grenzen, vor allem in einer offenen unerwarteten Umgebung. In kontrollierten Umgebungen sieht das anders aus: Industrieroboter \u00fcbernehmen zum Beispiel einen Gro\u00dfteil der Fertigung von Autos bei VW. Oder ein Beispiel aus der Logistik: Mit k\u00fcnstlicher Intelligenz kann zum Beispiel Amazon Millionen von Warenhaus-Robotern kollisionsfrei steuern.<\/p>\n\n\n\n

Und in virtuellen Umgebungen wie Schach, Go, oder Computerspielen hat der Computer dem Menschen bereits den Rang abgelaufen. AlphaGo im Duell gegen Lee Sedol. Quelle: www.bbc.com\/news\/technology-35785875<\/p>\n\n\n\n

Suchmaschinen<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Eine weitere Spielart der KI, an die wir uns l\u00e4ngst gew\u00f6hnt haben, sind Suchmaschinen. Nur sie erm\u00f6glichen uns, in den riesigen Datenmengen des World Wide Web zu navigieren und die f\u00fcr uns relevanten Inhalte zu finden.<\/p>\n\n\n\n

Empfehlungsdienste<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Den gleichen Vorteil \u2013 die relevanten Inhalte aus einem \u00fcberw\u00e4ltigenden Angebot zu finden, bieten uns Empfehlungssysteme, zum Beispiel in E-Shops wie Amazon oder Dienste wie Spotify oder Netflix. Sie steuern aber auch die Neuigkeiten und Gruppen, die uns in sozialen Medien vorgeschlagen werden oder werden im Recruiting von Firmen verwendet. Netflix: Ein Produkt, das ohne intelligente Empfehlungen nicht denkbar ist.<\/p>\n\n\n\n

Content-Moderation<\/strong><\/p>\n\n\n\n

In sozialen Medien oder Nachrichtenforen ist die Moderation eine gro\u00dfe Herausforderung. Trolle, Beleidigungen und verbotene Inhalte zu erkennen und zu l\u00f6schen ist oft mit menschlicher Arbeitskraft nicht mehr zu bew\u00e4ltigen. Youtube beispielsweise setzt bei der Moderation stark auf k\u00fcnstliche Intelligenz: 76% der gel\u00f6schten Videos auf Youtube wurden von k\u00fcnstlicher Intelligenz identifiziert und markiert.<\/p>\n\n\n\n

Gesichtserkennung<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Die Gesichtserkennung hat gro\u00dfe Fortschritte gemacht. Die meisten aktuellen Smartphones k\u00f6nnen heute mittels Gesichtserkennung entsperrt werden. Ebenfalls mittels Gesichtserkennung erkennt Facebook Photo Review, wer auf neu hochgeladenen Fotos abgebildet ist und fragt die Person nach ihrem Einverst\u00e4ndnis. Digitalkameras lernen, automatisch auf Gesichter zu fokussieren oder bewegende Gegenst\u00e4nde wie Autos zu verfolgen und scharf zu stellen.<\/p>\n\n\n\n

Die gleiche technologischen Grundlage wird auch in der Bek\u00e4mpfung der Corona-Pandemie verwendet: In vielen britischen St\u00e4dten oder in den Einrichtungen von Amazon wird so mittels der Bilder von existierenden \u00dcberwachungskameras die Einhaltung der Sicherheitsabst\u00e4nde registriert.<\/p>\n\n\n\n

5. Regelbasierte Systeme – Logiksysteme<\/strong><\/h2>\n\n\n\n

Die Programme f\u00fcr k\u00fcnstliche Intelligenz werden hier auf der Basis mathematischer Logik ausgef\u00fchrt. Die Besch\u00e4ftigung mit k\u00fcnstlicher Intelligenz erfordert eine Befassung mit logischen Kalk\u00fclen wie der Aussage- und der Pr\u00e4dikatenlogik. Ein kurzer Abriss anbei:<\/p>\n\n\n\n

5.1.Aussagen<\/strong><\/strong><\/h3>\n\n\n\n

Klassische Logik: z.B. Es gibt unendliche viele nat\u00fcrliche Zahlen \u03f5 N a,b und c, sodass die Gleichung a2<\/sup> + b2<\/sup> = c2<\/sup> (Teil des gro\u00dfen Fermatschen Satzes!). Ist eine Aussage. Aussagen k\u00f6nnen \u201ewahr\u201c (w) oder \u201efalsch\u201c (f) sein. Aussagen kann man mit \u201eWahrheitstabellen\u201c darstellen.<\/p>\n\n\n\n

Die Negation<\/strong> \u00acA<\/strong> ist beispielsweise \u201efalsch\u201c, wenn A \u201ewahr\u201c ist. Daher zeigt die Tabelle<\/p>\n\n\n\n

A<\/td>\u00acA<\/td><\/tr>
w<\/td>f<\/td><\/tr>
f<\/td>w<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Die Konjunktion<\/strong> A \u2227 B<\/strong> (\u201eA und B\u201c) ist dann wahr, wenn beide Aussagen \u201ewahr\u201c sind. Die Dis\u00adjunktion A \u2228 B<\/strong> (\u201eA oder B\u201c) ist dann wahr, wenn eine der Aussagen falsch ist. in Tabellenform:<\/p>\n\n\n\n

\n
A<\/td>B<\/td>A\u2227B<\/td><\/tr>
w<\/td>w<\/em><\/em><\/td>w<\/em><\/em><\/td><\/tr>
w<\/td>f<\/em><\/em><\/td>f<\/em><\/em><\/td><\/tr>
f<\/td>w<\/em><\/em><\/td>f<\/em><\/em><\/td><\/tr>
f<\/td>f<\/em><\/em><\/td>f<\/em><\/em><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
A<\/td>B<\/td>A\u2228<\/strong>B<\/td><\/tr>
w<\/td>w<\/em><\/em><\/td>w<\/em><\/em><\/td><\/tr>
w<\/td>f<\/em><\/em><\/td>w<\/em><\/em><\/td><\/tr>
f<\/td>w<\/em><\/em><\/td>w<\/em><\/em><\/td><\/tr>
f<\/td>f<\/em><\/em><\/td>f<\/em><\/em><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n

Bei der Implikation A \u21d2 B <\/strong>ist die Aussage falsch, wenn A wahr und B falsch ist. Bei der \u00c4quivalenz A \u21d4 B <\/strong>ist die Aussage wahr, wenn A und B beide wahr oder beide falsch sind.<\/p>\n\n\n\n

\n
A<\/td>B<\/td>A\u21d2<\/strong><\/strong>B<\/td><\/tr>
w<\/td>w<\/em><\/em><\/td>w<\/em><\/em><\/td><\/tr>
w<\/td>f<\/em><\/em><\/td>f<\/em><\/em><\/td><\/tr>
f<\/td>w<\/em><\/em><\/td>w<\/em><\/em><\/td><\/tr>
f<\/td>f<\/em><\/em><\/td>w<\/em><\/em><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
A<\/td>B<\/td>A\u21d4<\/strong> B<\/td><\/tr>
w<\/td>w<\/em><\/em><\/td>w<\/em><\/em><\/td><\/tr>
w<\/td>f<\/em><\/em><\/td>f<\/em><\/em><\/td><\/tr>
f<\/td>w<\/em><\/em><\/td>f<\/em><\/em><\/td><\/tr>
f<\/td>f<\/em><\/em><\/td>w<\/em><\/em><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n

Aus diesen \u201ekleinen Wahrheitstabellen\u201c kann man nun eine gr\u00f6\u00dfere logische Aussage \u00fcberpr\u00fcfen. Dazu wird die Wahrheitstabelle erweitert. Z.B. die Wahrheitstafeln von A \u21d4<\/strong> B<\/strong> und (A\u21d2<\/strong><\/strong>B) \u2227 (B\u21d2<\/strong><\/strong>A)<\/strong> sind gleich.<\/p>\n\n\n\n

\n
A<\/td>B<\/td>A \u21d4<\/strong> <\/strong>B<\/td><\/tr>
w<\/td>w<\/td>w<\/em><\/em><\/td><\/tr>
w<\/td>f<\/em><\/td>f<\/em><\/em><\/td><\/tr>
f<\/td>w<\/td>f<\/em><\/em><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
A<\/td>B<\/td>A\u21d2<\/strong><\/strong><\/strong>B<\/strong><\/td>B\u21d2<\/strong><\/strong><\/strong>A<\/strong><\/td>(A\u21d2<\/strong><\/strong><\/strong>B)<\/strong> \u2227<\/strong> (B\u21d2<\/strong><\/strong><\/strong>A)<\/strong><\/td><\/tr>
w<\/em><\/em><\/td>w<\/em><\/em><\/td>w<\/em><\/em><\/td>w<\/em><\/em><\/td>w<\/em><\/em><\/td><\/tr>
w<\/em><\/em><\/td>f<\/em><\/em><\/td>f<\/em><\/em><\/td>w<\/em><\/em><\/td>f<\/em><\/em><\/td><\/tr>
f<\/em><\/em><\/td>w<\/em><\/em><\/td>w<\/em><\/em><\/td>f<\/em><\/em><\/td>f<\/em><\/em><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n<\/div>\n\n\n\n

Die Symbole \u00ac, \u2227<\/strong> und \u2228<\/strong> werden als Quantoren <\/strong>bezeichnet.<\/p>\n\n\n\n

5.2. Logik<\/h3>\n\n\n\n

Spezielle Sprachen, die Denkmuster der Logik unterst\u00fctzen, sind die Aussagelogik (siehe Kap. I) und die Pr\u00e4dikatenlogik. Die Pr\u00e4dikatenlogik ist eine k\u00fcnstliche Sprache, \u00e4hnlich einer Programmiersprache, die keine Mehrdeutigkeiten zul\u00e4sst. Wortschatz und Grammatik sind minimal. Die Logik hat viele Bez\u00fcge zur Informatik: Die Verbindung der Aussagelogik zur Digitaltechnik, die Logik und Komplexit\u00e4tstheorie, die Verbindung von Pr\u00e4dikatenlogik und relationale Datenbanken und die Logik als Programmiersprache (z.B. Prolog).<\/p>\n\n\n\n

5.3. Aussagelogik<\/strong><\/strong><\/h3>\n\n\n\n

Syntax <\/strong>(= korrekte Schreibweise): Aussagelogische Formeln werden induktiv in vier Schritten definiert. \u03a3 wird dabei die Menge der Atome genannt.<\/p>\n\n\n\n

    \n
  1. Jedes Atom in \u03a3 ist eine Formel.<\/li>\n\n\n\n
  2. Ist a eine Formel, so ist (\u00ac\u03b1) eine Formel.<\/li>\n\n\n\n
  3. F\u00fcr Formeln a und \u03b2 sind auch (\u03b1 \u02c4 \u03b2), (\u03b1 \u02c5 \u03b2), (\u03b1 \u2192 \u03b2) und (\u03b1 \u2194 \u03b2) Formeln.<\/li>\n\n\n\n
  4. Nur Ausdr\u00fccke, die mit den ersten drei Pr\u00e4missen gebildet werden, sind Formeln.<\/li>\n\n\n\n
  5. Es gelten folgende Bindungsregeln: \u00ac bindet am st\u00e4rksten, gefolgt von \u02c4, \u02c5, \u2192 und \u2194.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    Semantik<\/strong> (= Bedeutung der aussagelogischen Formeln): Sei J eine \u201eBewertung\u201c der Atome, die mit {0, 1} erfolgen kann. Die Bewertung von Formeln wird erweitert, wenn folgende Regeln gelten:<\/p>\n\n\n\n

      \n
    1. J(\u00ac\u03b1) =1 , wenn J( \u03b1 ) = 0.<\/li>\n\n\n\n
    2. J(\u03b1 \u02c4 \u03b2) = 1, wenn J( \u03b1 ) =1 und J( \u03b2 ) =1.<\/li>\n\n\n\n
    3. J(\u03b1 \u02c5 \u03b2) =1, wenn J( \u03b1 ) =1 oder J( \u03b2 ) =1.<\/li>\n\n\n\n
    4. J(\u03b1 \u2192 \u03b2) =1, wenn J( \u03b1 ) =0 oder J( \u03b2 ) =1.<\/li>\n\n\n\n
    5. J(\u03b1 \u2194 \u03b2) =1, wenn J( \u03b1 ) = J( \u03b2 ).<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

      Wenn alle m\u00f6glichen Bewertungen J (a) der Atome Formel zusammen mit dem zugeh\u00f6rigen Wahrheitswert \u201ew(ahr)\u201c oder \u201ef(alsch)\u201c in eine Tabelle geschrieben werden, erh\u00e4lt man die Wahrheitstafel siehe Kap. Aussagen).<\/p>\n\n\n\n

      Beispiel:<\/strong> Sei a = (A \u02c5 \u00acB) \u02c4 (A\u02c5B\u2192C), dann ist die Wahrheitstafel (\u00e4hnlich oben):<\/p>\n\n\n\n

      A  B  C   A\u02c5\u00acB  A\u02c5B \u2192 C  \u03b1\n0  0  0    1     1       1\n0  0  1    1     1       1\n0  1  0    0     0       0\n0  1  1    0     1       0\n1  0  0    1     0       0\n1  0  1    1     1       1\n1  1  0    1     0       0\n1  1  1    1     1       1\n<\/pre>\n\n\n\n
      Wahrheitstafel der obigen Aussage: Es gilt: Eine Formel \u03b1 ist erf\u00fcllbar<\/strong>, wenn es wenigstens eine Bewertung J ( \u03b1 ) =1 gibt. Eine Formel hei\u00dft tautologisch<\/strong>, wenn f\u00fcr jedes J ( \u03b1 ) = 1 gilt. Eine Formel hei\u00dft widerspruchsvoll<\/strong>, wenn f\u00fcr jeden Formel J( \u03b1 ) =0 ist. Eine Formel hei\u00dft falsifizierbar<\/strong>, wenn es eine Bewertung J ( \u03b1 )= 0 gibt.<\/p>\n\n\n\n
      Wenn \u03b1 und \u03b2 aussagelogische Formeln sind. Dann ist \u03b2 eine semantische Folgerung<\/strong> aus \u03b1, wenn f\u00fcr jede Bewertung J, f\u00fcr die \u03b1 wahr ist, auch \u03b2 wahr ist. Sei \u03b1 = (A \u02c5 B) \u02c4 (\u00acA \u02c5 B) und \u03b2 = B, dann ist \u03b1 = (1, 0, 1, 0 \u2013 bitte nachpr\u00fcfen!) und \u03b2 = (1, 0, 1, 0). Somit ist \u03b2 eine semantische Schlussfolgerung aus \u03b1 und man schreibt \u03b1 |= \u03b2.<\/p>\n\n\n\n
      Zwei aussagelogische Formel \u03b1 und \u03b2 hei\u00dfen logisch \u00e4quivalent<\/strong>, wenn J (\u03b1) = J (\u03b2) f\u00fcr alle Bewertungen gilt. Die Schreibweise f\u00fcr die logische \u00c4quivalenz ist \u03b1 \u2248 \u03b2.<\/p>\n\n\n\n
      In der Logik gibt es Regeln, welche semantische Folgerungen einfacher machen:<\/p>\n\n\n\n
      A. Die Vererbungsregeln: Sind \u03b1, \u03b2 und \u03b3 aussagelogische Formeln. Dann gelten<\/p>\n\n\n\n
        \n
      1. Wenn \u03b1 \u2248 \u03b2, so gilt auch \u00ac\u03b1 \u2248 \u00ac\u03b2.<\/li>\n\n\n\n
      2. Wenn \u03b1 \u2248 \u03b2, so gilt \u03b3 \u02c4 \u03b1 \u2248  \u03b3 \u02c4 \u03b2,<\/li>\n\n\n\n
      3. Wenn \u03b1 \u2248 \u03b2, so gilt \u03b3 \u02c5 \u03b1 \u2248  \u03b3 \u02c5 \u03b2.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n
        B. Die Junktor-Minimierung: Sind \u03b1 und \u03b2 aussagelogische Formeln. Dann gilt:<\/p>\n\n\n\n
          \n
        1. \u03b1 \u2192\u03b2 \u2248 \u00ac\u03b1 \u02c5 \u03b2.<\/li>\n\n\n\n
        2. \u03b1 \u02c4 \u03b2 \u2248 \u00ac(\u00ac\u03b1 \u02c5 \u00ac\u03b2)<\/li>\n\n\n\n
        3. \u03b1 \u2194 \u03b2 \u2248 (\u03b1\u2192 \u03b2) \u02c4 (\u03b2\u2192 \u03b1) \u2248 (\u00ac\u03b1 \u02c5 \u03b2) \u02c4 (\u00ac\u03b2 \u02c5 \u03b1).<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n
          Man zeige die Formeln \u00fcber Wahrheitstafeln.<\/p>\n\n\n\n
          C. Die \u00c4quivalenzregeln: Sind \u03b1, \u03b2 und \u03b3 aussagelogische Formeln. Dann gelten<\/p>\n\n\n\n
            \n
          1. \u00ac \u00ac\u03b1 \u2248 \u03b1 (Negationsregel).<\/li>\n\n\n\n
          2. \u03b1 \u02c5 \u03b1 \u2248 \u03b1 bzw. \u03b1 \u02c4 \u03b1 \u2248 \u03b1 (Idempotenzregeln)<\/li>\n\n\n\n
          3. \u03b1 \u02c4 \u03b2 \u2248 \u03b2 \u02c4 \u03b1 bzw. \u03b1 \u02c5 \u03b2 \u2248 \u03b2 \u02c5 \u03b1 (Kommutativgesetz)<\/li>\n\n\n\n
          4. (\u03b1 \u02c5 \u03b2) \u02c5 \u03b3 \u2248 \u03b1 \u02c5 (\u03b2 \u02c5 \u03b3) und (\u03b1 \u02c4 \u03b2) \u02c4 \u03b3 \u2248 \u03b1 \u02c4 (\u03b2 \u02c4 \u03b3) (Assoziativgesetz)<\/li>\n\n\n\n
          5. (\u03b1 \u02c4 \u03b2) \u02c5 \u03b3 \u2248 (\u03b1 \u02c5 \u03b3) \u02c4 (\u03b2 \u02c5 \u03b3) und (\u03b1 \u02c5 \u03b2) \u02c4 \u03b3 \u2248 (\u03b1 \u02c4 \u03b3) \u02c5 (\u03b2 \u02c4 \u03b3) (Distributivgesetz)<\/li>\n\n\n\n
          6. \u00ac(\u03b1 \u02c4 \u03b2) \u2248 \u00ac\u03b1 \u02c5 \u00ac\u03b2 und  \u00ac(\u03b1 \u02c5 \u03b2) \u2248  \u00ac\u03b1 \u02c4 \u00ac\u03b2 (Regeln von de Morgan).<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n
            Mit all diesen Regeln lassen sich Normalformen von aussagelogischen Formeln finden, die in der Logik eine wichtige Rolle spielen.<\/p>\n\n\n\n
            a) Die Negationsnormalform <\/strong><\/strong><\/p>\n\n\n\n
            Sei \u03b1 eine aussagelogische Formel ohne \u2192 und \u2194. Dann ist \u03b1 eine Negationsnormalform (NNF), wenn jedes Negationszeichen direkt vor einem Atom steht.<\/p>\n\n\n\n
            Beispiel: <\/strong>Man berechne eine NNF von \u00ac ((A \u02c5 B) \u02c4 (\u00acC \u02c5 D).<\/p>\n\n\n\n
            Es gilt: \u00ac ((A \u02c5 B) \u02c4 (\u00acC \u02c5 D) \u2248  \u00ac (A \u02c5 B) \u02c5 \u00ac(\u00acC \u02c5 D) De Morgan<\/p>\n\n\n\n
                                                                       \u2248   (\u00acA \u02c4 \u00acB) \u02c5 \u00ac(\u00acC \u02c5 D) De Morgan<\/p>\n\n\n\n
                                                                       \u2248   (\u00acA \u02c4 \u00acB) \u02c5 (\u00ac\u00acC \u02c4 \u00acD) de Morgan<\/p>\n\n\n\n
                                                                       \u2248   (\u00acA \u02c4 \u00acB) \u02c5 (C \u02c5 \u00acD) Negationsregel<\/p>\n\n\n\n
            Die letzte Form ist eine Negationsnormalform.<\/p>\n\n\n\n
            b) Konjunktive Normalform<\/strong><\/strong><\/p>\n\n\n\n
            Eine Formel der Form \u03b1 = V\u03b1i<\/sub> (i =1 bis n) wird Klausel genannt. Eine Formel \u03b1 hei\u00dft konjunktive Normalform (KNF), wenn sie eine Konjunktion mehrerer Klauseln ist.<\/p>\n\n\n\n
            Beispiel: <\/strong>Man berechne eine KNF von \u03b1 = \u00ac(A \u02c5 \u00acB \u02c5 \u00ac(\u00acC \u02c5 D) \u02c5 \u00acA)).<\/p>\n\n\n\n
            \u00ac(A \u02c5 \u00acB \u02c5 \u00ac(\u00acC \u02c5 D) \u02c5 \u00acA)          \u2248  \u00acA \u02c4 (B \u02c4 (\u00acC \u02c5 D) \u02c4 A) Negationsnormalform<\/p>\n\n\n\n
                                                                   \u2248   (\u00acA \u02c5 B) \u02c4 (\u00acA \u02c5 ((\u00acC \u02c5 D) \u02c4 A)) Distributivgesetz<\/p>\n\n\n\n
                                                                   \u2248  (\u00acA \u02c5 B) \u02c4 (\u00acA \u02c5 (\u00acC \u02c5 D) \u02c4 (\u00acA \u02c5A) Distributivgesetz<\/p>\n\n\n\n
                                                                   \u2248 (\u00d8A \u02c5 B) \u02c4 (\u00d8A \u02c5 \u00d8C \u02c5 D) \u02c4 1 Klammern<\/p>\n\n\n\n
            Die letzte Form ist die konjunktive Normalform, eine Konjunktion von Klauseln.<\/p>\n\n\n\n
            \n
            Ein Algorithmus zur schnellen Berechnung einer konjunktiven Normalform<\/p>\n\n\n\n
            Eingabe<\/strong>: Aussagelogische Formel \u03b1<\/p>\n\n\n\n
            Verfahren:<\/strong> sei \u03b1 von der Form H1<\/sub> \u02c4 \u2026 \u02c4 Hn<\/sub>, wobei Hi keine Konjunktionen sind<\/p>\n\n\n\n
            While<\/strong> ein Hi Tiefe =>4 besitzt do<\/strong><\/p>\n\n\n\n
              for<\/strong> i \u03f5 {1,\u2026,n} do<\/strong><\/p>\n\n\n\n
                if <\/strong>Hi hat Tiefe => 4 then<\/strong><\/p>\n\n\n\n
                  seien G1<\/sub>, \u2026,Gm<\/sub> alle Subformeln von Hi<\/sub> in Tiefe 3, die Tiefe =>1 haben<\/p>\n\n\n\n
                  ersetze Hi<\/sub> wie folgt:   Hi<\/sub> [G1<\/sub>,\u2026Gm<\/sub>] -> (G1<\/sub> \u21d4<\/strong> X1<\/sub>) \u02c4 \u2026.\u02c4 (Gm<\/sub> \u21d4<\/strong> Xm<\/sub>) \u02c4  Hi<\/sub>[X1<\/sub>,\u2026,Xm<\/sub> ]<\/p>\n\n\n\n
                end if<\/strong><\/strong><\/p>\n\n\n\n
              end for<\/strong><\/strong><\/p>\n\n\n\n
             Iteriere mit der entstandenen Formel als neues \u03b1<\/p>\n\n\n\n
            end while<\/strong><\/strong><\/p>\n\n\n\n
            Wende die KNF-Erstellung auf die entstandene Formel an<\/p>\n<\/div>\n\n\n\n
            c) Disjunktive Normalform<\/strong><\/strong><\/p>\n\n\n\n
            Eine Formel der Form \u03b1 = \u0245\u03b1i<\/sub> (i =1 bis n) wird Monom genannt. Eine Formel \u03b1 hei\u00dft disjunktive Normalform (DNF), wenn sie eine Disjunktion mehrerer Monome ist.<\/p>\n\n\n\n
            Beispiel:<\/strong> Man berechne die DNF von \u03b1 = \u00ac(A \u02c5 \u00acB \u02c5 \u00ac(\u00acC \u02c5 D) \u02c5 \u00acA)).<\/p>\n\n\n\n
            \u00ac(A \u02c5 \u00acB \u02c5 \u00ac(\u00acC \u02c5 D) \u02c5 \u00acA))           \u2248 \u00acA \u02c5 (B \u02c4 (\u00acC \u02c5 D) \u02c5 A) Negationsnormalform<\/p>\n\n\n\n
                                                                       \u2248 \u00acA \u02c5 ((B \u02c4 \u00acC) \u02c5 (B \u02c4 D) \u02c4A Distributivgesetz<\/p>\n\n\n\n
                                                                       \u2248 \u00acA \u02c5 ((B \u02c4 \u00acC) \u02c4 A) \u02c5 ((B \u02c4 D) \u02c4 A) Distributivgesetz<\/p>\n\n\n\n
                                                                       \u2248 \u00acA \u02c5 ((B \u02c4 \u00acC) \u02c4 A) \u02c5 (B \u02c4 D \u02c4 A) Klammern<\/p>\n\n\n\n
            Die letzte Form ist die disjunktive Normalform, eine Disjunktion der Monome.<\/p>\n\n\n\n
            \"\"<\/a><\/figure>\n\n\n\n
            Logische Formeln werden direkt in digitalen Netzwerken realisiert. Dabei spielen Normalformen beim Schaltungs\u00adaufbau eine wichtige Rolle. Die flexibelsten \u201eGatter\u201c (Logikbau-steine) hei\u00dfen NOR und NAND, also \u00ac\u02c5 und \u00ac\u02c4. Das Bild zeigt die Umformung einer komplexen Schaltung Z aus drei Eing\u00e4ngen A, B und C und Umformung zu einer \u201eschlanken\u201c Schaltung: Z = \u00ac(\u00acA \u02c4 \u00ac(\u00acB\u02c4C) \u02c4 \u00ac(A\u00acBC))<\/p>\n\n\n\n
            Mit Kalk\u00fclen der Aussagelogik kann man formale Beweise f\u00fchren. Dazu braucht es Pr\u00e4missen \u03b11<\/sub>, \u03b12<\/sub>, \u03b13<\/sub>, \u03b1n<\/sub> oder Voraussetzungen und die Formel \u03b11<\/sub>\u02c4 \u03b12<\/sub>\u02c4 \u03b13<\/sub>\u02c4\u2026\u02c4\u03b1n<\/sub> \u2192 \u03b2 hei\u00dft g\u00fcltiges Argument, wenn sie eine Tautologie ist d.h. f\u00fcr alle \u03b1i<\/sub> ist J(\u03b1i<\/sub>) = 1. <\/p>\n\n\n\n
            Beispiel:<\/strong> Die Formel \u03b1 \u02c4 (\u03b1\u2192\u03b2) \u2192 \u03b2 ist ein g\u00fcltiges Argument. Sie ist von der Bauarbeit \u03b11<\/sub>\u02c4\u03b12<\/sub>\u2192\u03b3 und \u03b3 = \u03b2.<\/p>\n\n\n\n
            Mit \u03b1 = (0,0,1,1) und \u03b2 = (0,1,0,1) ergibt \u03b1\u2192\u03b2 (1,1,0,1) und  \u03b1 \u02c4 (\u03b1\u2192\u03b2) ergibt (0,0,0,1) und damit ergibt \u03b1 \u02c4 (\u03b1\u2192\u03b2) \u2192 \u03b2 (1,1,1,1).<\/p>\n\n\n\n
            Die Formel ist tautologisch, also ein g\u00fcltiges Argument.<\/p>\n\n\n\n
            Auch hier gelten die \u00c4quivalenzregeln (siehe oben) und auch entsprechende Schlussregeln:<\/p>\n\n\n\n
            Formel<\/td>\u00e4quivalent zu<\/td>Name der Regel<\/td><\/tr>
            \u03b1 \u02c5 \u03b2,  \u03b1 \u02c4 \u03b2<\/td>\u03b2 \u02c5 \u03b1, \u03b2 \u02c4 \u03b1<\/td>Kommutativgesetz\/ com<\/td><\/tr>
            (a \u02c5 \u03b2) \u02c5 \u03b3 \u2026..<\/td>\u03b1 \u02c5 (\u03b2 \u02c5 \u03b3 )\u2026<\/td>Assoziativgesetz \/ ass<\/td><\/tr>
            \u00ac (\u03b1 \u02c4 \u03b2) \u2026<\/td>\u00ac\u03b1 \u02c5 \u00ac\u03b2\u2026..<\/td>De Morgan<\/td><\/tr>
            \u03b1 \u2192 \u03b2<\/td>\u00ac\u03b1 \u02c5 \u03b2<\/td>Implikation \/ imp<\/td><\/tr>
            \u03b1<\/td>\u00ac\u00ac\u03b1<\/td>Doppelte Negation \/dn<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
            Aussage<\/td>Ableitbar<\/td>Name der Regel<\/td><\/tr>
            \u03b1  und \u03b1\u2192\u03b2<\/td>\u0392<\/td>Modus ponens\/ mp<\/td><\/tr>
            \u03b1 \u2192 \u03b2 und \u00ac\u03b2<\/td>\u00ac\u03b1<\/td>Modus Tollens\/mt<\/td><\/tr>
            \u03b1 und \u03b2<\/td>\u03b1 \u02c4 \u03b2<\/td>Konjunktion \/con<\/td><\/tr>
            \u03b1 \u02c4 \u03b2<\/td>\u03b1, \u03b2<\/td>Vereinfachung \/simp<\/td><\/tr>
            \u03b1<\/td>\u03b1\u02c5\u03b2<\/td>Ausdehnung\/add<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n
            Zu den Begriffen:<\/p>\n\n\n\n