Sogar in den einschlägigen Sendungen des ORF wird das Einserthema nur mosaikartig erklärt. Beispielsweise „besiegen wir das Virus“ oder wollen wir „weg kommen vom exponentiellen Wachstum“ oder halten wir nichts von der „Herdenimmunität“ des Boris Johnson. Werner Kogler erzählte etwas von einem „R0“, ohne aber weiter darauf einzugehen. Es fehlt an zusammenhängenden Darstellungen.

In meinem „früheren Leben“ gehörte es zum Alltag, kleine oder größere Themen, auch aus dem nicht-technischen Alltag, für den Unterricht aufzubereiten und das Thema „Epidemie“ wäre so ein Thema gewesen. Diese Zeilen sind also ein Versuch, die Corona-Epidemie in Zahlen zu fassen.

Was wir heuer erleben ist ein Lernprozess. Hätte uns jemand Ende Februar, als es erst zwei Fälle gegeben hat, die heutigen Einschränkungen aufgebrummt, man hätte ihn ausgelacht – aber gut wäre es gewesen. Wir würden heute nicht 10.000 positiv Getestete sondern vielleicht nur ein paar Hundert zählen. Wir haben drei Wochen ungenutzt verstreichen lassen.

Das ist keine Schuldzuweisung, es ist das Wesen des Lernens, Fehler zu machen, nur halt nicht zwei Mal.

Kurzfassung

Was wir alle wissen wollen, ist doch, wann denn der Spuk ein Ende haben kann. Und die einzig richtige Antwort darauf ist: wenn ein ausreichender Teil der Bevölkerung gegen das Virus immun ist, damit sich dieses bei einer gegebenen Lebensart nicht (mehr) epidemisch ausbreiten kann. So lange dieser Zustand nicht gegeben ist, wird unser Leben ein Wechselspiel zwischen Einschränkungen und Freiheiten sein.

Epidemie

Was ist überhaupt „epidemisch“?

Epidemisch bezeichnet man die mehr oder weniger rasche Verbreitung einer infektiösen Erkrankung in der Bevölkerung. Eine Epidemie ist fast so etwas wie eine kollektive Erkrankung, von der nach und nach alle Menschen betroffen sind. In der Regel ist man nach ausgestandener Erkrankung immun, zumindest eine Zeitlang.

Kettenreaktion

Auch die Kettenreaktion bei der Kernspaltung ist gewissermaßen „epidemisch“. In einer Atombombe läuft sie unkontrolliert ab, in einem Kernreaktor werden Maßnahmen gesetzt, um die Kettenreaktion nicht über alle Maßen wachsen zu lassen und aus der Erwärmung einen langfristigen Nutzen der Energieumwandlung zu ziehen.

Wir sind im Begriff gesellschaftliche „Bremsstäbe“ in Form verschiedener Maßnahmen einzusetzen. Wir brauchen diese Maßnahmen so lange, als es „brennbares Material“ in Form ansteckbarer Menschen gibt. Wenn dereinst das Kernmaterial verbraucht ist, also die Kettenreaktion nicht mehr stattfinden kann, weil das Virus keinen Wirt mehr findet, dann kann das Virus der Gesellschaft nichts mehr anhaben. Ein einzelner Nicht-Immunisierter kann dann zwar immer noch erkranken, aber er kann dem Kollektiv nicht mehr im Sinne einer Epidemie schaden, weil die Menschen rund um ihn in ausreichender Zahl immun sind.

Der Nutzen unserer Verhaltensänderungen ist kurzfristig die Reduktion der gleichzeitig Erkrankten, um das Gesundheitssystem nicht zu überlasten und langfristig die kontinuierliche Immunisierung der Bevölkerung.

Eine Epidemie ist kein einmaliger Vorgang, sondern kommt in Wellen immer wieder. Der Grund ist unser Verhalten. Kommt eine epidemische Erkrankung, treffen wir Gegenmaßnahmen und zwingen die Epidemie „in die Knie“, doch wirklich gelöst ist das Problem damit nicht, weil die Bevölkerung keineswegs ausreichend immunisiert ist, und daher führen spätere Infektionen zu weiteren Wellen, die in ihrer Intensität nicht mehr so stark sind. Einerseits, weil man den Umgang mit der Epidemie schon erlernt hat und das Instrumentarium nicht neu erfunden werden muss und anderseits, weil mit jeder weiteren Erkrankung der Immunisierungsgrad der Bevölkerung steigt und daher das Virus immer weniger Angriffsfläche bietet.

Also auch wenn es heuer einen erträglichen Normalzustand im Sommer geben wird, kann uns dennoch ein ungemütlicher Herbst in Form einer zweiten Epidemie-Welle ins Haus stehen.

Reproduktionszahl

Die Reproduktionszahl gibt an, wie viele weitere Menschen ein Erkrankter im Durchschnitt ansteckt. Die Anzahl der Erkrankungen nimmt epidemisch zu, wenn diese Zahl größer als 1 ist, und sie nimmt ab, wenn die Zahl kleiner als 1 ist.

Jeder, der corona-positiv getestet und nach einem hoffentlich milden Verlauf wieder genesen ist, gehört zur Gruppe der immunisierten Personen. Er trägt dazu bei, dass das Virus sich nicht mehr so schnell ausbreiten kann. Je größer die Zahl der immunisierten Personen, desto kleiner wird die Reproduktionszahl.

Die Erkrankung eines Einzelnen ist immer unangenehm, und wir wünschen uns das nicht. Anderseits ist es für uns alle ein Vorteil, wenn möglichst viele immun sind.

Die Basisreproduktionszahl R0 für das Corona-Virus beträgt ohne Änderungen in unserem sozialen Verhalten etwa 2,5. Ein Infizierter steckt im Schnitt 2,5 weitere Personen an.

Die anzuwendende Reproduktionszahl ist aber die Nettoreproduktionszahl Rt.

Rt = R0 . (100% – Immun%)

Diese Zahl Rt ist anfangs genau so groß wie die Basisreproduktionszahl R0 (niemand ist immun), verkleinert sich aber mit der Anzahl der immunisierten Personen im Land. Sinkt sie unter 1 ist Herdenimmunität erreicht, die Erkrankung kann sich nicht mehr epidemisch ausbreiten.

Fragen wir also nach der Anzahl der Immunisierten für den epidemischen Ausbreitungsstopp Rt=1 und ein R0 von 2,5, erhalten wir den Zustand der Herdenimmunität = (2,5-1)/2,5.100 % = 60%. Betrachten wir Österreich als Herde müssen sich etwa 5 Millionen Österreicher angesteckt haben, damit die Herde immunisiert ist.

Je geringer die Basisreproduktionsrate ist, desto kleiner ist auch der für Herdenimmunität erforderliche Immunisierungsgrad.

Die Basisreproduktionsrate ist keine fixe Größe, man kann sie durch Veränderung der Lebensart ändern. Massenveranstaltungen steigern diese Rate, Isolation, also „Social Distancing“ oder Hygienemaßnahmen senken sie. Das ist derzeit unsere Herangehensweise. Wir verändern unsere sozialen Gewohnheiten und bieten dem Virus weniger Verbreitungsmöglichkeiten. „R0 sinkt“, wie Werner Kogler sagt.

Wenn dann ausreichend viele Menschen immunisiert sind, bedeutet das nicht, dass sich nicht dennoch jemand anstecken kann, aber diese Ansteckung ist nicht mehr epidemisch, sondern abnehmend und daher jederzeit durch das Gesundheitssystem bewältigbar.

Vergleiche

Dieser Mechanismus einer Epidemie ist auch bei allen anderen ansteckenden Erkrankungen wie der Grippe oder den Masern gegeben.

Bei der Grippe besteht das Problem, dass eine Immunisierung durch eine Impfung nur ein Jahr anhält, weil das Grippevirus sich immer wieder verändert und vor jeder Grippe-Saison ein neuer Impfstoff entwickelt werden muss.

Bei den Masern ist die Reproduktionszahl mit 18 viel höher als bei COVID-19 und daher muss ein viel größerer Teil der Bevölkerung immun sein, um Epidemien zu verhindern. Erforderlich wären 95%, tatsächlich sind es nur 80%.

Bei COVID-19 haben wir keinen Impfstoff, daher verwenden wir zwei Schutzmechanismen: Reduktion der Basisreproduktionsrate, damit das Gesundheitssystem nicht überlastet ist und – langfristig – kontrollierte Erkrankung eines möglichst großen Anteils der Bevölkerung.

Modelle

In weiterer Folge wollen wir rein theoretisch die Modelle untersuchen, die uns eine Vorstellung von den erwartbaren Zeiträumen und Infektionszahlen geben. Die Kurven haben ihren Anfang immer am 26.2.2020 und starten mit einer einzelnen infizierten Person.

Infizierte

Statt der Basisreproduktionsrate von 2,5 verwenden wir die tägliche Steigerungsrate, im Beispiel 10%, 20% und 30%*). (Zum Vergleich: durch unsere gemeinsamen Anstrengungen ist diese Rate auf unter 10% gesunken, und vielleicht bringt der Osterhase die 0%-Marke.

Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum ist gegeben, wenn das Virus zu jedem Zeitpunkt der Epidemie dieselbe Chance hat, sich zu vermehren.

Die exponentiellen Verläufe sind in einem linearen Maßstab bei diesen Steigerungsraten nahezu senkrechte Linien, daher eignet sich ein logarithmischer Maßstab besser zur Darstellung.

Logistische Verteilung

Da aber Österreich – so wie andere Länder – abgeschotet ist, findet das Virus im Laufe seiner Verbreitung immer weniger Opfer.

Die Ansteckungen folgen nur in der Anfangsphase dem exponentiellen Verlauf, und die tägliche Zunahme ist nur am Anfang konstant und nimmt mit der Zeit ab und hat in der Hälfte der Infizierten einen Wendepunkt. Man nennt diesen Verlauf eine logistische Verteilung. Diese Verteilung hat in der Bevölkerungszahl eine obere Schranke.

Daher wäre die gesamte Bevölkerung etwas später erkrankt und immunisiert, also etwa erst Mitte Juni bei ungebremster Verbreitung mit 30%iger täglicher Steigerungsrate, weil eben die tägliche Steigerungsrate mit Fortgang der Epidemie abnimmt.

Die folgenden Grafiken zeigen diese Verläufe, beginnend jeweils am 26.2.2020 mit einem einzelnen Infizierten in einer linearen und einer logarithmischen Darstellung. Unsere tatsächlichen Infektionszahlen sind als rote Kurve eingetragen.

In dieser linearen Darstellung sind unsere realen Infektionszahlen nicht darstellbar.

In der logarithmischen Darstellung kann man unsere realen Infektionszahlen aber sehr gut interpretieren. Die exponentiellen Verläufe werden zu Geraden, die logistischen Verläufe sind anfangs auch geradlinig, krümmen sich aber mit zunehmender Zahl der Erkrankten.

Wie groß die tägliche Steigerungsrate ist, sagt der Anstieg einer Kurve. Daher können wir die Steigerungsraten der Messwerte sehr einfach schätzen. In der Anfangsphase sieht man einen sehr starken Anstieg mit über 30% Steigerungsrate pro Tag und seit etwa 14 Tagen eine Reduktion der Steigerungsrate auf unter 10%.

Genesene und Erkrankte

Die allermeisten Infizierten genesen nach etwa 14 Tagen und sind danach immun. Die Zahl der Genesenen hat also denselben Verlauf wie die der Infizierten, hinkt aber etwa um 14 Tage nach.

Die Zahl der Erkrankten, die Differenz zwischen der Zahl der Infizierten und Zahl der Genesenen, hat ein Maximum, ab dem diese Zahl wieder abnimmt.

Darstellung im ORF

Der ORF zeigt immer nur die Zahl der Infizierten. Das ist eine ständig steigende Kurve, die bestenfalls in einen horizontalen Verlauf übergehen kann, aber sinken kann diese Kurve nie. Diese Darstellung dürfte in der Epidemiologie üblich sein, weil sie bei allen großen Portalen angewendet wird. Außerdem sind die Kurven des ORF im linearen Maßstab und daher sind Veränderungen im Anstieg praktisch nicht zu erkennen.

Erkrankte

Für das Gesundheitssystem ist es weniger wichtig wie viele Menschen sich bisher infiziert haben, sondern nur, wie viele zu einem bestimmten tatsächlich Zeitpunkt krank sind und davon jener Teil, der stationär aufgenommen werden muss.

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Wenn wir nichts tun (tägliche Steigerungsrate ca. 30%), erreicht die Zahl der Infizierten ein Maximum von 5,8 Millionen am 2. Mai; bei einer täglichen Steigerungsrate von 10%, wird das Maximum von 2,6 Millionen Erkrankten am 16. August erreicht. Durch flankierende Maßnahmen wird die tägliche Steigerungsrate gesenkt und dadurch die Kurve der gleichzeitig Erkrankten verflacht zum Preis einer längeren Dauer der Epidemie. Das Maximum der Epidemie wird später erreicht.

Je geringer die Wachstumsrate, desto geringer auch der Anteil der gleichzeitig Erkrankten. Dennoch erkranken bei einer 5%-igen Wachstumsrate – und das ist etwa der Wert, den wir in diesen Tagen erreichen – mehr als eine Million Menschen, genau 1,38 Millionen am 9.2.2021.

Nun sind diese hier gezeigten Zahlen ein Horror, wenn man sie tatsächlich in diesen Größenordnungen durchleben müsste, denn auch wenn die allermeisten Infektionen unbemerkt bleiben, ist auch ein nur geringer Prozentsatz an schwerwiegenderen Fällen von keinem Gesundheitssystem der Welt zu bewältigen.

Dunkelziffer

Weil die COVID-19-Erkrankung in sehr vielen Fällen völlig unbemerkt bleibt, wissen wir nicht genau, in welchem Stadium der Epidemie wir uns befinden. Wir vergleichen Ergebnisse von Tests, die aber keine Auskunft darüber geben, wie viele Menschen tatsächlich von der Viruserkrankung betroffen sind.

Die Dunkelziffer bedeutet, dass viele Erkrankte die Erkrankung nicht mitbekommen und meinen gesund zu sein aber dennoch Überträger sind. Die Dunkelziffer hat den Vorteil, dass viel mehr Menschen immun sind als es von der täglichen Statistik bekannt gegeben wird. Gleichzeitig wäre die Sterberate um eben diesen Faktor geringer als sie derzeit ausgewiesen wird.

Bezüglich der Größe der Dunkelziffer ist man derzeit auf Schätzungen angewiesen und Studien geben Faktoren bis 50 an.

Nehmen wir also eine Dunkelziffer von 10 an. Dann stünden wir heute, am 31.3. nicht bei 10.000 Infizierten sondern schon bei 100.000 Infizierten.

Das hat zwei wichtige Konsequenzen: die Sterberate wäre um den Faktor 10 geringer, und wir würde die Herdenimmunität um diesen Faktor früher, als es die offiziellen Infektionszahlen vermuten lassen, erreichen. Dass durch die größere Anzahl der Infizierten auch die Sterberate sinkt, macht die Erkrankung weniger gefährlich.

Wie groß diese Dunkelziffer ist, kann man nur durch eine Stichprobe ermitteln, allerdings müsste diese Stichprobe auch einen Antikörpertest enthalten, um die bereits gesunden Immunisierten zu erheben. Genau das ist derzeit geplant.

Beispiel

Ein stark betroffener Bezirk in Österreich ist Landeck mit etwa 40.000 Einwohnern und mit heute (2.4.) fast 700 Infektionsfällen. Nehmen wir eine Dunkelziffer von 20 an, ergäbe das aber schon 14.000 größtenteils unerkannte Infektionen. Also noch einmal so viele und ein bisschen Social Distancing und die „Herde Landeck“ wäre immunisiert!

Tote

Auch wenn ab sofort keine Neuerkrankungen mehr stattfinden würden, wird die Zahl der Toten uns Hospitalisierten noch einige Zeit beunruhigen, weil die heutigen Toten sind die Erkrankten von vor einigen Wochen.

Die Toten sind ein viel stärkerer Indikator für die Zahl der tatsächlich Infizierten als die Zahl der positiv Getesteten.

Österreich: Bei einer Dunkelziffer von 50 und heutigen 10.000 positiv Getesteten gäbe es tatsächlich 500.000 Fälle. Bei gleichzeitig 200 Toten wäre die Sterberate 0,4 Promille. Ein Vergleich dieser hypothetischen Sterberate von 0,4 Promille ist aber bei einem Vergleich mit Italien doch zu hoch gegriffen.

Maßnahmen

Nun sehen wir an den aktuellen Entwicklungen, dass ein Gesundheitssystem auch mit einer nur 10%-igen Steigerungsrate völlig überfordert wäre, auch wenn der Großteil der Erkrankten die Erkrankung nur wenig bis gar nicht bemerkt. Mit den getroffenen Maßnahmen liegen wir derzeit (Anfang April) bereits unter 10% Steigerungsrate und müssen unter eine Reproduktionsrate von 1 kommen, also zu einem Nullwachstum. Das wird dann einen Stillstand beim Anstieg bedeuten, und mit der sukzessiven Genesung der Erkrankten, werden wir irgendwann bei einer nur mehr geringen Anzahl von Erkrankten ankommen.

Wie wirken sich also Maßnahmen auf unsere exponentiellen Verläufe aus?

In den ersten drei Wochen mit dem Virus geschah fast nichts. Ja, es gab eine Rückreiseaufforderung für Italien-Urlauber und Grenzschließungen. Die Grenzschließung definiert eine Herde und aus dem exponentiellen Verlauf wurde ein logistischer Verlauf. Die ersten drastischen Maßnahmen wurden am Freitag den 13.3. verkündet, und wir wissen aus den Informationen des Gesundheitsministeriums, dass die täglichen Zunahmen von damals etwa 35% auf unter 10% zurückgegangen sind; nicht sprunghaft aber kontinuierlich, weil eben die modellhaften Annahmen in der Realität nicht in dieser Schärfe zutreffen.

Nach zwei weiteren Wochen mussten diese Maßnahmen wieder verschärft werden. Warum, das zeigt folgende Milchmädchenrechnung mit einem Blick auf die reale Zahlen:

Wir zählen heute 10.000 positiv Getestete und davon sind 1.000 hospitalisiert und davon wieder 200 auf Intensivstationen. Es gibt österreichweit etwa 2600 Intensivbetten, davon können für Corona-Patienten vielleicht 1000 zur Verfügung gestellt werden. Bei einem weiteren Anstieg auf das Fünffache wäre die Kapazität der Intensiv-Betten erschöpft. Das Fünffache klingt nach viel, ist aber genau der Zuwachs der letzten 14 Tage. Und das bedeutet: nach 14 Tagen gäbe es keine freien Intensivbetten mehr und daher sind die zusätzlichen Maßnahmen notwendig.

Die folgende Kurve zeigt den modellierten Verlauf in vier Phasen einschließlich einer Prognose.

Die rote Kurve ist der Verlauf der tatsächlichen Infektionszahlen des Gesundheitsministeriums. Anfang verläuft sie gemäß einem exponentiellen Anstieg geradlinig, krümmt sich aber wegen der Isolationsmaßnahmen.

Die strichlierte graue Kurve bildet diese Kurve in zwei Abschnitten nach und verlängert sie mit zwei weiteren Abschnitten in die Zukunft. Die gelbe Kurve ist die Zahl der Genesenen; sie ist um 14 Tage zeitversetzt. Die blaue Kurve sind die tatsächliche erkrankten Personen (Infizierte – Genesene). Diese Prognose vermutet mit Phase 4 ein Null-Wachstum ab etwa Mitte April.

Die Zahl der Erkrankten wird ein Maß dafür sein können, ob eine Lockerung eintreten kann. Die blaue Kurve ist nicht versehentlich nicht verlängert worden, denn der nächste Wert wäre Null, etwas, das man im logarithmischen Maßstab nicht abbilden kann. Der Verlauf zeigt, dass das die Epidemiewelle auch ziemlich abrupt enden könnte.

Fazit

Am 13.3. zählten wir in Österreich 600 Infizierte, heute, am 2.4. sind es 11.000. Wenn unsere Bemühungen also dereinst Erfolg zeigen werden und die Fernsehkurve nicht mehr ansteigt, dann erreichen wir irgendwann, vielleicht im Mai, eine Zahl von vielleicht 13.000 Infizierten und weil keine Neuinfektionen mehr dazukommen, aber viele wieder gesund geworden sind, schließlich einen Stand von – zum Beispiel – 600 Erkrankten (das ist das Ende der blauen Kurve).

Was wird dann passieren? Wir werden uns auf die Schulter klopfen und sagen, dass wir Österreicher das gut bewältigt hätten, und dass man jetzt daran gehen könnte, die Maßnahmen wieder zu lockern, man wird erste Geschäfte wieder eröffnen.

Wo liegt das Problem?

Am 13.3., bei einer Zahl von 600 Infizierten wurden radikale Maßnahmen eingeführt und das soziale und wirtschaftliche Leben auf ein Minimum reduziert. Irgendwann in der Zukunft werden – dann bei einer ähnlich geringen Zahl von Infizierten – möglicherweise dieselben Maßnahmen gelockert. Das Virus ist aber dasselbe, es hat kein Gedächtnis dafür, was es angerichtet hat und es verbreitet sich immer gleich, bezogen auf die jeweilige Zahl von Infizierten, zuerst exponentiell, später logistisch – wie wir gesehen haben.

Wenn wir also an einem Tag in der Zukunft zu einer Normalität mit Einschränkungen zurückkehren werden, dann hätten wir das auch schon am 13.3. gemacht haben können. Wir hätten schon am 13.3. Maßnahmen definieren können, die natürlich einschränkend gewesen wären, aber sie hätten ein Geschäftsleben im Einzelhandel erlaubt. Denn es wird auch an diesem Tag in der Zukunft so sein. Auch an diesem Tag in der Zukunft wird die Zahl der Erkrankten nicht Null sein.

Folgendes wird sich verändert haben:

• Wir werden gelernt haben mit Einschränkungen zu leben und werden diese Fertigkeit auch in der weiteren Zukunft abrufen können, zum Beispiel bei einer folgenden Epidemiewelle.
• Der Immunisierungsgrad der Bevölkerung wird größer sein. Am 13.3. waren nur ein paar Tausend (unter Einbeziehung der Dunkelziffer), am Tag der „Wiedereröffnung von Österreich“ einige Hunderttausend, vielleicht schon eine Million, dass also im Mai die Nettoreproduktionsrate (bei normalem Leben) von 2,5 auf – sagen wir – 1,5 zurückgegangen sein wird.
• Und daher wird die nächste Welle, die nach dem Abklingen der ersten kommen wird – das sagen die Virologen, etwas weniger aggressiv sein, weil einerseits bereits Erfahrung im Umgang mit dem Virus und anderseits eine gewisse Grundimmunisierung vorliegt, vor allem eine solche der exponierten Fachkräfte aus Medizin, Pflege, Blaulichtorganisationen und Grundversorgung.
• Im Fall kollektiver Interessen dürfte das Beharren auf der Zustimmung zur Datenweitergabe kontraproduktiv sein, weil es für den Schutz der Gesamtgesundheit wichtig sein kann, den Kontakt zu einem Infizierten zu kennen und danach zu handeln, auch wenn dieser seine Zustimmung dazu nicht erteilt.

Aber man muss ergänzen, dass es eben ein Lernprozess ist, den wir gemeinsam erleben, und so ein Lock Down im März wird vielleicht in einer zweiten Epidemie-Welle nicht mehr in dieser gravierenden Form erfolgen; dann hätten wir etwas gelernt.

Aber angesichts der dramatischen Situation bei unseren südlichen Nachbarn, scheinen die Maßnahmen in Österreich nicht überzogen und zeigen eine ethisch und fachlich fundierte Entscheidungsfindung. Mein obiger Einwand, dass wir das alles auch hätten billiger haben können, ist einfacher im Nachhinein geschrieben als am 13.3. entschieden.

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*) Wie man einen Zusammenhang zwischen der Reproduktionsrate und der täglichen Steigerungsrate herstellt, können wahrscheinlich nur Epidemiologen sagen. Zur Berechnung von Wachstumsverläufen ist die tägliche Steigerungsrate geeignet.

Links

• Gesundheitsministerium (Covid-Info)
• Wachstum (Wikipedia)
• Epidemiologie (Wikipedia)